Download PDF by Gautier C., Girard G., Gerll D., Thiercé C., Warusfel A.: Aleph 0/Algèbre. Terminale CDE. Nombres réels, calcul

By Gautier C., Girard G., Gerll D., Thiercé C., Warusfel A.

Los angeles assortment Aleph zero est une série de manuels de mathématiques publiée lors de l’application de l. a. réforme dite des « maths modernes ».

Contenu de ce volume :

Préface
Mathématique/Classes terminales. Nouveaux programmes (Arrêté du 14 mai 1971), sections A, B, C, D et E
Alphabet grec

1 Nombres réels
    1.1 Propriétés de l’ensemble ℝ
        1.1.1 Corps commutatif totalement ordonné
        1.1.2 Corps des nombres réels
        1.1.3 Bornes supérieures et inférieures
        1.1.4 Intervalles emboîtés et suites adjacentes
        1.1.5 Théorème d’Archimède
        1.1.6 Valeurs approchées d’un nombre réel
        1.1.7 Corps des nombres rationnels
        1.1.8 Valeur absolue d’un nombre réel
        1.1.9 Congruences dans ℝ
        1.1.10 Automorphismes de ℝ
        Exercices

    1.2 Calculs d’incertitudes
        1.2.1 Incertitudes
        1.2.2 Représentation décimale d’un nombre réel
        1.2.3 Incertitudes sur une somme et une différence
        1.2.4 Incertitudes sur un produit et un quotient
        Exercices
        Problèmes

2 Corps des nombres complexes
    2.1 Corps ℂ des matrices (a -b; b a)
        2.1.1 Définition
        2.1.2 Le groupe (ℂ, +)
        2.1.3 Le corps commutatif (ℂ, +, .)

    2.2 Espace vectoriel de ℂ sur ℝ
        2.2.1 Le sous-espace vectoriel ℂ sur ℝ
        2.2.2 Base et measurement de l’espace vectoriel ℂ
        2.2.3 Isomorphisme de ℝ et d’un sous-corps de ℂ
        Problème

    2.3 Nombres complexes
        2.3.1 l. a. notation z = a + ib
        2.3.2 Opérations sur les nombres complexes
        2.3.3 L’équation z² = a, a réel
        2.3.4 Nombres complexes conjugués
        2.3.5 Applications
        Exercices

    2.4 Module d’un nombre complexe
        2.4.1 Norme et module
        2.4.2 Inégalité de Minkowski
        2.4.3 Le groupe multiplicatif U des complexes de module égal à un
        Exercices

    2.5 Représentation géométrique des nombres complexes
        2.5.1 Plan vectoriel et plan affine identifiés à ℂ
        2.5.2 Interprétations géométriques
        2.5.3 los angeles symétrie aircraft axiale
        Exercices
        Problèmes

3 Forme trigonométrique des nombres complexes
    3.1 Rappels et compléments
        3.1.1 Le groupe des matrices (a -b; b a), a² + b² = 1, et le groupe A des angles
        3.1.2 Le groupe additif ℝ/2πℤ et le groupe additif A des angles
        3.1.3 Conclusion

    3.2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe
        3.2.1 Homomorphisme θ du groupe additif ℝ sur le groupe multiplicatif U
        3.2.2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe de module 1
        3.2.3 Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

    3.3 Argument d’un nombre complexe non nul
        3.3.1 Isomorphisme du groupe (ℝ/2πℤ, +) sur le groupe (ℂ*, *)
        3.3.2 Argument d’un nombre complexe u et forme trigonométrique de u
        3.3.3 Formule de Moivre
        3.3.4 Argument d’un nombre complexe z non nul
        3.3.5 Propriétés de l. a. fonction argument de z
        3.3.6 Cas des nombres réels et des nombres imaginaires purs
        3.3.7 Résumé des propriétés du module et de l’argument d’un nombre complexe non nul
        3.3.8 Exemples de calculs
        Exercices

    3.4 purposes trigonométriques
        3.4.1 Calcul de cos nx et de sin nx, x étant réel (n = 2, n = three, n = 4)
        3.4.2 Complément : étude du cas général
        3.4.3 Linéarisation des polynômes trigonométriques
        3.4.4 Notation e^(ix)
        Exercices
        Problèmes

4 purposes des nombres complexes
    4.1 purposes géométriques des nombres complexes
        4.1.1 Plan vectoriel euclidien et argument d’un nombre complexe
        4.1.2 Plan affine euclidien et argument d’un nombre complexe
        4.1.3 Représentations de nombres complexes. Exercices
        Exercices

    4.2 Racines n-ièmes d’un nombre complexe
        4.2.1 Racines n-ièmes d’un nombre complexe
        4.2.2 Représentation des racines n-ièmes
        4.2.3 Racines cubiques de l’unité
        4.2.4 Racines quatrièmes de l’unité
        4.2.5 Racines n-ièmes de l’unité
        4.2.6 Racines n-ièmes d’un nombre complexe z et racines n-ièmes de 1
        4.2.7 Racines carrées d’un nombre complexe z non nul
        Exercices

    4.3 Résolution d’équations dans le corps ℂ
        4.3.1 Résolution de l’équation définie sur ℂ par az + b = 0
        4.3.2 Résolution de l’équation du moment degré, sur ℂ, à coefficients complexes
        4.3.3 Équation du moment degré à coefficients réels sur ℂ
        4.3.4 Exemples de résolution d’équations du moment degré
        4.3.5 Applications
        4.3.6 Résolution, sur ℝ, de l’équation a cos x + b sin x + c = 0
        Exercices
        Problèmes

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15: Wie groß ist der Abstand des Punktes P = (−8,5) von der Geraden mit der Gleichung y = 3x − 1? h. wir formen um in 3x − y = 1 und dividieren durch 32 + 12 = 10. Somit ergibt sich die Hessesche Normalform 3 1 1 √ x−√ y=√ . 10 10 10 36 1 Vektorrechnung in zwei und drei Dimensionen 1 1 −8 3 Wir setzen n = √ . , = √ und r 1 = 5 −1 10 10 Aus a = |n · r 1 − | gewinnt man den gesuchten Abstand: a= √1 10 3 −8 · − −1 5 √1 10 1 . −3 · 8 − 1 · 5 − 1 = 9,48683. =√ 10 √ Aus n · r 1 = −29/ 10 < 0 entnehmen wir, dass die Punkte P und 0 auf der gleichen Seite der Geraden liegen.

U, v) = π/2, so beschreibt man dies kurz durch u ⊥ v. Man sagt auch, sie stehen senkrecht (oder orthogonal) aufeinander. Mit dem inneren Produkt ist dies folgendermaßen verknüpft: Merke: Zwei Vektoren stehen genau dann rechtwinklig aufeinander, wenn ihr inneres Produkt Null ist: u ⊥ v ⇔ u · v = 0. Physikalische Anwendung des inneren Produktes Eine konstante Kraft F bewege einen Massenpunkt von P nach Q, wobei F nicht notwendig in Richtung von P Q wirke. s sei der Vektor, den P Q darstellt. Dann ist die geleistete Arbeit A = F · s, 24 1 Vektorrechnung in zwei und drei Dimensionen denn es kommt ja nur der Kraftbetrag F der Projektion von F auf P Q zur Wirkung (s.

34 1 Vektorrechnung in zwei und drei Dimensionen Fig. 2: Die Gerade sei in Parameterform r = r 0 + λs gegeben. 61) mit noch unbekanntem λ1 . 62) dies besagt, dass der Vektor r ∗ − r 1 rechtwinklig zu s steht (s . Fig. 35). 62) folgt λ1 = [(r 1 − r 0 ) · s]/s2 , wie in der Tabelle angegeben. Der Abstand a = |r ∗ − r 1 | ist klar. Ist die Gerade in Hessescher Normalform n · r = gegeben, so ist eine zugehörige Parameterform r = n + λn R . 61) ein, so folgt für den Fußpunkt des Lotes r ∗ = n + (r 1 · n R )n R , wie in der Tabelle notiert.

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by John
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