New PDF release: Algebra

By Dr. B. L. van der Waerden (auth.), Dr. B. L. van der Waerden (eds.)

ISBN-10: 3662015137

ISBN-13: 9783662015131

ISBN-10: 3662015145

ISBN-13: 9783662015148

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Also ist @ eine Gruppe. Zugleich ist bewiesen: Einselement und inverses Element gehen bei einem Homomorphismus wieder in Einselement und inverses Element über. Jetzt soll die durch eine homomorphe Abbildung @"-7@ gegebene Klasseneinteilung genauer studiert werden. Es wird sich dabei eine sehr wichtige eineindeutige Beziehung zwischen Homomorphismen und Normalteilern herausstellen. ,@ das Einheitselement von @ entspricht, ist ein Normalteiler von @, und die übrigen Klassen sind die Nebenklassen dieses Normalteilers.

Analog wird in einem Modul das inverse Element von a mit -a bezeichnet. Für a + (-b) schreibt man kurz a -b, weil dieses Element die Lösung der Gleichung x + b = a ist: (a - b) + b = a + (- b + b) = a + °= a. Gruppen. 24 Aufgaben. 1. Die euklidischen Bewegungen und Umlegungen des Raumes (d. h. diejenigen Transformationen, bei denen alle Entfernungen der Punktepaare ungeändert bleiben) bilden eine unendliche nichtabelsche Gruppe. 2. Man beweise, daß die Elemente e, a mit der Zusammensetzungsvorschrift ee=e, ea=a, ae=a, aa=e eine (abelsche) Gruppe bilden.

Also: Die gegenüber allen inneren Automorphismen invarianten Untergruppen sind die Normalteiler. Durch diesen Satz erklärt sich die Bezeichnung "invariante Untergruppe" für die Normalteiler. Die Forderung (2) kann durch die etwas schwächere (3 ) 3* Gruppen. 36 ersetzt werden. Denn wenn (3) für jedes a gilt, so gilt es auch für a- 1 : a-lga~g, ~) A~aga~; aus (3) und (4) folgt aber (2). Also: Eine Untergruppe ist Normalteiler, wenn sie zu jedem Element bauch alle konjugierten Elemente ab a-1 enthält.

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Algebra by Dr. B. L. van der Waerden (auth.), Dr. B. L. van der Waerden (eds.)


by Kenneth
4.4

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