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By Winfried Fakler

ISBN-10: 3322921042

ISBN-13: 9783322921048

ISBN-10: 3519021366

ISBN-13: 9783519021360

Maschinelles Lösen von Differentialgleichungen ist seit langem der Traum vieler Mathematiker, Naturwissenschaftler und Ingenieure. Dessen Umsetzung hat sich allerdings als sehr hartnäckig erwiesen. Da gibt es einerseits mechanische und elektro-mechanische Verfahren, die seit dem Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen verdrängt werden und heute praktisch durch numerische Verfahren abgelöst sind. Andererseits gibt es algebraische Verfahren, welche erst durch die Entwicklung von Computeralgebra-Systemen weite Verbreitung finden. Der Vorteil dieser Methoden liegt darin, daß sie Funktionen anstelle von Funktionswerten als Ergebnis zurückliefern. Das Gemeinsame aller algebraischen Verfahren ist ihre Kompliziertheit, die zu ihrem Verständnis bisher viel Theorie erforderte. Das vorliegende Buch stellt in einer möglichst einfach gehaltenen Darstellung neue Konzepte und Algorithmen zur exakten Lösung gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen vor, die es sogar ermöglichen, erstens, alle Lösungen zu berechnen und zweitens, diese Lösungen durch Formeln zu bestimmen. Eine Einführung in die Benutzung der im Computeralgebra-System MuPAD implementierten Verfahren und eine Kurzbeschreibung der Funktionen ergänzen die Abhandlung. Aktuelle Informationen zu MuPAD und der projektbegleitenden Forschung sind auf der http://www.mupad.de>MuPAD Homepage zu finden.

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Es ist leicht zu zeigen, daB flir beliebige L 1, L2 E k[DJ die Identitaten (Li)* deg(Li) L1 deg(L1) (L1 + L2)' (L1L2)' Li +L; L;L;' erfullt sind. Bei einem zusammengesetzten Operator L E k[DJ entsprechen damit die linken Faktoren von L den rechten Faktoren von L' und umgekehrt. B. Loewy [51, S. 565]). Jedoch braucht eine solche Zerlegung nicht eindeutig zu sein, wie folgendes Beispiel zeigt. 4 Der line are Differentialoperator L liber Q(x) = D3 - 1 2 -D -xD x besitzt die beiden verschiedenen Zerlegungen L = (D2 - ~D - x ) D = (D - ~) (D2 - x) .

2JX (1 - x) arctan (iJX) 56 4 DifIerentialgleichungen h8herer Ordnung nieht in Q(x) liegt. Damit ist L zwar ein reduzibler, aber kein vollstandig 0 reduzibler Operator tiber Q(x). In [84, Section 4] wird ein Algorithmus gegeben, der entseheidet, ob zwei Operatoren umstellbar sind, allerdings seheint dies sehr aufwendig zu sein, denn dazu mtissen die rationalen Losungen eines Systems linearer Differentialoperatoren bestimmt werden. Eine andere Mogliehkeit, zwei Operatoren umzustellen, ist der Test mit einem der obigen Faktorisierungsalgorithmen.

Beweis. L(y) = 0 besitzt genau dann liouvillesche L6sungen, wenn die zugehOrige Galoisgruppe g(L) entweder imprimitiv oder primitiv und endlich ist. 4. 3 Ein alternatives Verfahren In diesem Abschnitt wird ein Verfahren zur "direkten" Berechnung liouvillescher L6sungen irreduzibler linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit imprimitiver unimodularer Galoisgruppe entwickelt. Die Berechnung eines Minimalpolynoms ist nicht mehr notwendig, kann jedoch trotzdem noch wahlweise bestimmt werden.

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by Steven
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